Resolução de Equações Biquadráticas

Para se resolver uma equação biquadrática primeiro devemos escrever uma outra equação na forma de potência (x²)² o termo x⁴, em seguida substituir o x² por uma outra incógnita, transformando desta forma a equação biquadrática em uma equação do 2° grau.

 

Exemplo 1:

Somos dado a equação biquadrática x⁴ – 16 = 0, para resolver em R.

Primeiro vamos substituir x⁴ por ( x² )²  e a equação fica: ( x² )² – 16 = 0

Agora consideremos ( x² ) = y , colocamos y, mas pode ser qualquer letra: y² – 16 = 0, veja que após substituição a equação transforma-se em uma do 2° grau.

(y² = 16 o expoente 2 vira ± )

y = ±  resolvendo a raiz

y = ± 4 caro estudante, lembre-se que no inicio da resolução chamamos ( x² ) = y, então vamos substituir os valores de y que encontramos, para termos o valor de x.

Se y = 4          e          se y = - 4

( x² ) = y                     ( x² ) = y

x² = 4                          x₂ = - 4

x ±                          x=± ,  não existe nos reais

x = ± 2

Logo, a solução = {-2, 2}

 

Exemplo 2:

Continuando, vamos juntos resolver a equação no conjunto dos números reais x⁴ – 5x² + 6 = 0

Vamos substituir x⁴ por (x2)²

( x² )² – 5x² + 6 = 0     seja: x² = y

y² – 5y + 6 = 0 Agora, temos uma equação quadrática completa, onde  a = 1, b = - 5 e c = 6, dai vamos  usar o descriminante D = b² - 4ac e a fórmula resolvente y , ficando:

D = (-5)² - 4.1.6

D = 25 -24

D =1

Pela fórmula resolvente  fica:

y₁      ou     y₂=

y₁           ou     y₂=

y₁             ou    y₂=

Caro estudante, sempre que se tratar de equações biquadráticas, não se esqueça de que no inicio da resolução consideramos ( x2 ) = y, então vamos substituir os valores de y que encontramos, para termos os valores de x.

Se y´ =2           e         se y =3

( x2 ) = y                     ( x2 ) = y

x² = 2                          x² = 3

x = ±                      x = ±                                                                    

Logo a solução é: S= { }.