Inequações Logarítmicas

Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos de inequações logarítmicas:

log₂x > 0;  

log₄(x+3) £ 1;

log₂(x+2) > log₂8.  

 

Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:

1º) Redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base;

2º) Aplicação da propriedade:

log x > loga y

Restrição: x > 0  e  y > 0.

1ª hipótese: Se a > 1, então                                       2ª hipótese: Se 0 < a < 1, então

                                          

 

Exemplos

log₂ (x+2) > log₂8

Resolução:

Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S₁)

Como a base (2) é maior que 1, temos:

x+2>8 e, daí, x>6 (S₂)

O conjunto solução é S= S₁ Ç S₂ = {x Î IR| x>6}.

Portanto a solução final é a intersecção de S₁ e S₂.

 

log₂ (log₃x) ³ 0

Resolução:

Condições de existência: x>0 e log₃x>0

Como log₂1=0, a inequação pode ser escrita assim:

log₂(log₃x) ³ log₂1

Sendo a base (2) maior que 1, temos: log₃x ³ 1.

Como log₃3 = 1, então, log₃x ³ log₃3 e, daí, x ³ 3, porque a base (3) é maior que 1.

 

3)log₂(x + 2) > log₂8

Como a base (2) é maior que 1, temos:

x + 2 > 8

x > 6

O conjunto solução é S = {x Î IR| x> 6}.